Ja, du kannst natürlich auch den R^2 nehmen und eine custom Multiplikation drauf definieren - das ist, wie es standardmäßig gemacht wird. Mein Punkt war, dass eine bestimmte Unteralgebra der 2x2 reellen Matrizen mit der Standard-Matrixmultiplikation eine den komplexen Zahlen isomorphe Algebra bilden.

Und nein, das innere und äußere Produkt sind für diesen Zweck nicht geeignet, da sie weder geschlossen oder assoziativ noch invertierbar sind. Wenn du ein Vektorprodukt definieren willst, dass sich u.U. so wie die komplexe Multiplikation verhält, schau dir mal Doran, Lasenby: Geometric Algebra for Physicists an. Dieser Ansatz verallgemeinert sich mit der Benutzung der geraden Unteralgebra der geometrischen Algebra des Raumes Cl(3) übrigens hervorragend auf Quaternionen, und mit der Raumzeit-Algebra Cl(1, 3) auf bikomplexe Zahlen.